Matematyka emerytalna

Czy Ty też popełniasz ten nagminny błąd przy liczeniu wyników inwestycji? Czyli o tym jak liczyć zyski!

Zysk 12% w skali roku to 1% miesięcznie. Brzmi tak niewinnie – a jednak nie jest to zgodne z matematyką finansową. To najczęściej spotykany błąd w obliczeniach wyników inwestycji. Przy inwestycji trwającej jeden rok – nie ma to wielkiego znaczenia. I można ‚przymknąć oko’ na takie uproszczenie. Przy analizach długoterminowych jest tak samo błędne jak zdanie: Fundusz zarobił 100% w 10 lat czyli 10% średniorocznie. Dlaczego? Gdzie jest błąd? I jak to poprawnie policzyć? O tym w kolejnym artykule z cyklu Matematyka Emerytalna w praktyce.

W finansach procentów lepiej nie dzielić, nie mnożyć, nie odejmować i nie dodawać

rozmaitosci-1Nauczyłem się tego w wieku około 10 lat czytając namiętnie książkę „Rozmaitości Matematyczne – przez rozrywkę do wiedzy„. Gorąco polecam (czasem dostępna do nabycia na Allegro).

Mogę śmiało napisać, że to przez tę książkę robię dziś to co robię i przez tę książkę kocham liczby. Co chyba … widać 🙂

Książki niestety jakoś nie wznawiają. Ale używane egzemplarze można próbować zakupić na Allegro.

Ale do rzeczy. Dziś o tym jak liczymy zyski (na razie pomijamy temat inflacji).

 

Krok 1. Podstawy (to wszytko już wiemy)

Warto rozróżnić: zysk z inwestycji (czyli złotówki, które zarobiliśmy) oraz końcową wartość inwestycji (ile wpłaciliśmy plus wypracowany zysk).

excel_101W przykładzie używamy znanych z poprzedniej lekcji zasad formatowania arkusza oraz nadawania nazw komórkom. O ile lepiej wygląda zapis „=inwestycja * zysk” niż „=C3 * C4„.

W arkuszu kalkulacyjnym wyniki w polach z procentami trzeba sformatować jako %. Standardowo ‚procenty’ są wyświetlane jako liczby np. 0,18 oznacza 18%, 2,45 oznacza 245%. To tak dla przypomnienia. W szkole uczono, aby wynik na końcu mnożyć przez 100 i dopisywać znak procenta. Tego w arkuszu kalkulacyjnym nie robimy! Nic nie mnożymy przez to. Po prostu wciskamy ikonkę formatowania na procenty i gotowe.

 

Krok 2. Zysk w ciągu kilku lat

Karol zainwestował 25.000 zł w fundusz wierzytelności na 3 lata. Fundusz co roku zarabiał 10% rocznie. Ile zarobił Karol? (pomijamy temat podatków).

Zadanie możemy policzyć „na piechotę”

excel_102

Tu nie trzeba wiele tłumaczyć. Na początku Karol ma zainwestowane 25.000 zł. I to od tej kwoty liczymy zysk w I roku. Te 10% to 2.500 zł. W drugim roku na dalsze zyski pracuje już większa kwota, czyli 27.500 zł. I to od tej kwoty naliczymy 10% zysk – czyli 2.750 zł. To po dwóch latach daje razem 30.250 zł. I tak dalej.

Widać, że z każdym rokiem zysk w danym roku wzrasta (mimo iż procentowo jest to ciągle 10%) ponieważ z roku na rok zysk naliczany jest od coraz to większej kwoty. I to jest ten słynny efekt nazwany procentem składanym.

Karol zarobił : 33275-25000=8275 zł

 

Krok 3. Ile procent zarobiłem w ciągu kilku lat?

To bardzo proste – ale dla kronikarskiego obowiązku warte przypomnienia. Jeżeli Karol zainwestował 25.000 zł i po 3 latach na rachunku ma 33.275 zł to jego zysk wyniósł? Tak, dokładnie – 33,10%.

Można to policzyć na dwa sposoby.

  • obliczyć zysk w złotówkach (33.275 – 25.000 = 8.275 zł) i ten zysk podzielić przez kwotę początkową: 8.275 zł / 25.000 zł = 33,10%,
  • obliczyć różnicę: wartość_inwestycji_na_koniec / wartość_inwestycji_na_początku odjąć 1.

excel_103

Tu działa moja złota zasada matematyki procentów: Procentów nie dodajemy. 3 lata zysków po 10% to nie jest 30% zysku w 3 lata. To 33,10% zysku. Tak działa procent składany.

 

Krok 4. Zysk w ciągu wielu lat

Liczenie wyników na piechotę będzie … pracochłonne. Szczególnie gdy chcemy policzyć zyski za więcej lat. Wbrew pozorom nie musimy tu stosować skomplikowanych wzorów. Użyjemy po prostu potęgowania (które dostępne było już w zegarku z kalkulatorem jaki dostałem na I komunię).

Potęgowanie możemy też wykorzystać w Excelu. Dla przypomnienia: znak potęgowania to po prostu znaczek „^” (do uzyskania poprzez SHIFT+6.

Wzór jest bardzo prosty. Nazywam go czasem wzorem jedynkowym (ma kilka jedynek). Zysk w N lat = (1+zysk) ^ ile_lat – 1

excel_104Oczywiście wynik musi się zgadzać. Stąd także po potęgowaniu mamy zysk na poziomie 33,10%.

excel_105A gdyby tak inwestować na 10% przez 30 lat?

Wtedy wystarczy w arkuszu podmienić jedną wartość (ile lat).

I uzyskać przyjemny wynik: ponad 410.000 zł zysku w 30 lat. Czyli 1645% zysku.

Tu doskonale widać, że 30 lat po 10% to nie jest 300% zysku. Tylko … ponad 5 razy więcej.

 

Krok 5. Ile procent zarobiłem na tym funduszu?

Tak dla przypomnienia. Karol wpłacił 10.000 zł, po 10 latach na rachunku ma 40.000. Ile procent zysku wypracował fundusz, w który zainwestował?

Tu działanie jest bardzo proste. Musimy policzyć

  • ile tak naprawdę zarobił: czyli to co ma po 10 latach minus to co wpłacił
  • i tak otrzymany wynik podzielić przez to co wpłacił na początku (porównujemy zysk do wpłaty)

Wygląda to tak:

excel_106 (zauważ, że użycie nazw dla poszczególnych komórek pozwala w ogóle nie martwić się o pokazywanie na rysunku nagłówków kolumn czy też wierszy i jak przejrzyste jest czytanie formuł w takim arkuszu).

Jeżeli Karol zarobił te 300% w 10 lat to może policzymy ile to średniorocznie…

 

Krok 6. To teraz w drugą stronę. 300% w 10 lat, ile to zysku rocznie?

Karol zainwestował 1000 zł. Po 10 latach fundusz,  w którym trzymał oszczędności zarobił 300%. Razem na rachunku ma 4.000 zł (1000 zł wpłacone i 3000 zł zysku). Karol zastanawia się jaki był średnioroczny wynik z tej inwestycji?

Z mojej złotej zasady wiemy, że … procentów nie można dzielić. Na pewno nie jest to 30%. Ale – jak to policzyć?

Cóż – w pamięci byłoby trochę trudno. Ale królowa nauk zna pojęcie odwrotności. Skoro zyski przez N lat liczyliśmy jako potęgowanie, to w drugą stronę zastosujemy odwrotność potęgowania czyli … pierwiastkowanie. A dokładniej pierwiastkowanie w stopniu N. Tak – to działanie zapisywane w formie tego dziwnego symbolu 🙂

No dobrze, ale jak uzyskać pierwiastkowanie w arkuszu kalkulacyjnym? Tu znów użyjemy matematycznej odwrotności (odwracamy po raz kolejny). Pierwiastek z liczby A w stopniu N to to samo co liczba A podniesiona do potęgi 1/N. Proste, prawda? Tym bardziej, że sposób zapisu pierwiastka w Excelu już znamy…

Czyli: zysk_roczny = (1+zysk) ^ (1/ile_lat) – 1. To wzór na wskroś jedynkowy (ma tak wiele jedynek w sobie…).

excel_108

Widać, że faktycznie 300% w 1o lat to nie jest 30% średniorocznie. To 14,87%.

Aby upewnić się, czy na pewno arkusz kalkulacyjny ma rację można zrobić to czego uczono nas w szkole. Czyli Spr. (sprawdzenie wyniku).

Skoro 300% w 10 lat to 14,87% średniorocznie, to oznacza, że 14,87% co roku przez 10 lat dałoby wynik 300%. Policzymy?

Wystarczy wpisać taką formułę (tak, tę z potęgowaniem):

excel_111

 

Krok 6. Najczęstszy błąd w liczeniu zysków … miesięcznych

To sytuacja, w której chcemy policzyć wynik miesięczny, a znamy wynik roczny. Przykładowo: fundusz inwestycyjny zarabia 12% w skali roku. Ile zarabia w ciągu miesiąca?

Muszę tutaj zmartwić czytelników. Tego nie można tak po prostu podzielić. Nie jest to 1% (a takie uproszczenia bardzo często się stosuje).

Zauważ, że mamy tu w zasadzie dokładnie tę samą sytuację co w kroku 4-tym. Chcemy policzyć wynik w krótkim okresie, znając wynik w długim okresie.

Wzór będzie następujący: zysk_miesięczny = (1+zysk_roczny) ^ (1/12) – 1. Wartość 1/12 to po prostu 1 przez 12 miesięcy.

excel_112

Poprawne obliczenie to 0,949%. Czyli nieco mniej niż 1%. To niby minimalna różnica. Ale … zanim powiesz, że nieistotna – czytaj dalej!

 

Uproszczenie ‚zysku miesięcznego’ można zastosować w analizach krótkoterminowych

W analizie 1-2 letniej takie ‚uproszczenie’ może być akceptowalne. Tu nie wpływa to znacząco na wynik.

Jeżeli zainwestujemy 100.000 zł na 12% rocznie to błędne obliczenie (to uproszczone) poda, że w skali miesiąca zysk to 1% czyli 1.000 zł.

W rzeczywistości jeżeli zainwestujemy 100.000 zł na 12% rocznie to poprawne obliczenie pokaże, że w skali miesiąca zysk to 0,949% czyli 949 zł.

To niby 51 zł miesięcznie od kwoty 100.000 zł. W skali roku już ponad 500 zł!

 

W analizie długoterminowej uproszczeń nie można stosować

Weźmy dokładnie ten sam przykład. Zysk 12% w skali roku i obliczenie zysku miesięcznego i w oparciu o taki wynik miesięczny obliczenie zysków w okresie 20 lat. Porównamy wynik ‚uproszczony’ – czyli założenie, że 12% rocznie to 1% miesięcznie oraz poprawne obliczenie: 12% rocznie to 0,949% miesięcznie.

Zobaczmy jak mocno różnić się będzie wynik po 20 latach (240 miesiącach) inwestowania.

excel_110

Jak widać uproszczenie polegające na podzieleniu 12% w skali roku przez 12 i przyjęcie zysku miesięcznego 1% podwyższyło końcowy wynik inwestycji po 20 latach o 13%! Tutaj o prawie 12.500 zł przy początkowej inwestycji 10.000 zł. Mówiąc krótko generując wynik o 13% błędny.

Przy mniejszych zyskach różnica będzie mniejsza. Przy dłuższym czasie inwestowania różnica będzie większa.

Wniosek: Matematyka emerytalna jest prosta. Ale nie jest trywialna!

 

 

 

 

O autorze

Remigiusz Stanisławek

Witaj, z tej strony Remigiusz. Od 2006 roku uczę jak świadomie korzystać z funduszy inwestycyjnych i produktów inwestycyjnych. Czasem opiszę jakąś aferę :) Fundusze to nie lokata. To inwestycja. A inwestycją trzeba zarządzać. Ale wystarczy odrobina podstawowej wiedzy aby skutecznie inwestować. Jeżeli Twoje pieniądze są dla Ciebie ważne - może warto poświęcić im nieco więcej czasu?

Zostaw komentarz

komentarzy 7